Розв'яжіть 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6x^{2}+ax+bx-1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -6.

$$1,-6 2,-3$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-6 b=1$$

Перепишіть 6x^{2}-5x-1 як \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки 6x в 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -5 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Додайте 25 до 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±7}{12} за додатного значення ±. Додайте 5 до 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Розділіть 12 на 12.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±7}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Поділіть -\frac{5}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{12}. Потім додайте -\frac{5}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Щоб додати \frac{1}{6} до \frac{25}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Додайте \frac{5}{12} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$