Розв'яжіть 6x^2-4x-112=0

$$6 { x }^{ 2 } -4x-112=0$$

Знайдіть x

$$x=-4$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 2.

$$3x^{2}-2x-56=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 3x^{2}+ax+bx-56. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-2 ab=3\left(-56\right)=-168$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -2.

$$a=-14 b=12$$

Перепишіть 3x^{2}-2x-56 як \left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right).

$$\left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right)$$

x на першій та 4 в друге групу.

$$x\left(3x-14\right)+4\left(3x-14\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-14, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-14\right)\left(x+4\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-14=0 та x+4=0.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -4 замість b і -112 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2688}}{2\times 6}$$

Додайте 16 до 2688.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2704.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±52}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±52}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{4±52}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±52}{12} за додатного значення ±. Додайте 4 до 52.

$$x=\frac{56}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{56}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{14}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±52}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 52 від 4.

$$x=-\frac{48}{12}$$

Розділіть -48 на 12.

$$x=-4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Додайте 112 до обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}-4x-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

Якщо відняти -112 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}-4x=-\left(-112\right)$$

Відніміть -112 від 0.

$$6x^{2}-4x=112$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-4x}{6}=\frac{112}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)x=\frac{112}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-4}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{112}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{112}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{56}{3}$$

Поділіть -\frac{2}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{3}. Потім додайте -\frac{1}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{56}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{56}{3}+\frac{1}{9}$$

Щоб додати \frac{56}{3} до \frac{1}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{169}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{13}{3}$$

Додайте \frac{1}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$