Розв'яжіть 6x^2-15x+40=0

$$6 { x }^{ 2 } -15x+40=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25+2,259240285i$$

$$x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25-2,259240285i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}-15x+40=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, -15 замість b і 40 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 6\times 40}}{2\times 6}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 6\times 40}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-24\times 40}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на 40.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-960}}{2\times 6}$$

Додайте 225 до -960.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-735}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із -735.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±7\sqrt{15}i}{2\times 6}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{12} за додатного значення ±. Додайте 15 до 7i\sqrt{15}.

$$x=\frac{15+7\sqrt{15}i}{12}$$

Розділіть 15+7i\sqrt{15} на 12.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±7\sqrt{15}i}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 7i\sqrt{15} від 15.

$$x=\frac{-7\sqrt{15}i+15}{12}$$

Розділіть 15-7i\sqrt{15} на 12.

$$x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4} x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-15x+40=0$$

Відніміть 40 від обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}-15x+40-40=-40$$

Якщо відняти 40 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}-15x=-40$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}-15x}{6}=-\frac{40}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{6}\right)x=-\frac{40}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-15}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{40}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-40}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{20}{3}$$

Поділіть -\frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{4}. Потім додайте -\frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{20}{3}+\frac{25}{16}$$

Щоб додати -\frac{20}{3} до \frac{25}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{245}{48}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{245}{48}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{245}{48}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7\sqrt{15}i}{12} x-\frac{5}{4}=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}$$

Додайте \frac{5}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4} x=-\frac{7\sqrt{15}i}{12}+\frac{5}{4}$$