Розв'яжіть 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6x^{2}+ax+bx-5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=-3 b=10$$

Перепишіть 6x^{2}+7x-5 як \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

3x на першій та 5 в друге групу.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-1=0 та 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, 7 замість b і -5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Додайте 49 до 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±13}{12} за додатного значення ±. Додайте -7 до 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{6}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±13}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-20}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Відніміть -5 від 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Поділіть \frac{7}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{12}. Потім додайте \frac{7}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Щоб додати \frac{5}{6} до \frac{49}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Відніміть \frac{7}{12} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$