Розв'яжіть 6x^2+7x-5

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5$$

Розкласти на множники

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 6x^{2}+ax+bx-5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=-3 b=10$$

Перепишіть 6x^{2}+7x-5 як \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

3x на першій та 5 в друге групу.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Додайте 49 до 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±13}{12} за додатного значення ±. Додайте -7 до 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{6}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±13}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-20}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{2} на x_{1} та -\frac{5}{3} на x_{2}.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{1}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{5}{3} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{3x+5}{3}$$

Щоб помножити \frac{2x-1}{2} на \frac{3x+5}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{2\times 3}$$

Помножте 2 на 3.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{6}$$

Відкиньте 6, тобто найбільший спільний дільник для 6 й 6.

$$6x^{2}+7x-5=\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Обчислити

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$