Розв'яжіть 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 6x^{2}+ax+bx+3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=2 b=9$$

Перепишіть 6x^{2}+11x+3 як \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

2x на першій та 3 в друге групу.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x+1=0 та 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 6 замість a, 11 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Помножте -4 на 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Помножте -24 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Додайте 121 до -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Помножте 2 на 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±7}{12} за додатного значення ±. Додайте -11 до 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-4}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±7}{12} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-18}{12} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Ділення на 6 скасовує множення на 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-3}{6} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Поділіть \frac{11}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{11}{12}. Потім додайте \frac{11}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{11}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Щоб додати -\frac{1}{2} до \frac{121}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Відніміть \frac{11}{12} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$