Розв'яжіть 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Знайдіть x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте 1+x на 1+x, щоб отримати \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 54 на 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Відніміть 1215 з обох сторін.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Відніміть 1215 від 54, щоб отримати -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 54 замість a, 108 замість b і -1161 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Піднесіть 108 до квадрата.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Помножте -4 на 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Помножте -216 на -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Додайте 11664 до 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Видобудьте квадратний корінь із 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Помножте 2 на 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} за додатного значення ±. Додайте -108 до 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Розділіть -108+162\sqrt{10} на 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} за від’ємного значення ±. Відніміть 162\sqrt{10} від -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Розділіть -108-162\sqrt{10} на 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Помножте 1+x на 1+x, щоб отримати \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 54 на 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Відніміть 54 з обох сторін.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Відніміть 54 від 1215, щоб отримати 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Розділіть обидві сторони на 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Ділення на 54 скасовує множення на 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Розділіть 108 на 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 27, щоб звести дріб \frac{1161}{54} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Додайте \frac{43}{2} до 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Розкладіть x^{2}+2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$