Розв'яжіть 54x^2-21x-68=0

$$54 { x }^{ 2 } -21x-68=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{17}{18}\approx -0,944444444$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 54x^{2}+ax+bx-68. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-21 ab=54\left(-68\right)=-3672$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -3672.

$$1,-3672 2,-1836 3,-1224 4,-918 6,-612 8,-459 9,-408 12,-306 17,-216 18,-204 24,-153 27,-136 34,-108 36,-102 51,-72 54,-68$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-3672=-3671 2-1836=-1834 3-1224=-1221 4-918=-914 6-612=-606 8-459=-451 9-408=-399 12-306=-294 17-216=-199 18-204=-186 24-153=-129 27-136=-109 34-108=-74 36-102=-66 51-72=-21 54-68=-14$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -21.

$$a=-72 b=51$$

Перепишіть 54x^{2}-21x-68 як \left(54x^{2}-72x\right)+\left(51x-68\right).

$$\left(54x^{2}-72x\right)+\left(51x-68\right)$$

18x на першій та 17 в друге групу.

$$18x\left(3x-4\right)+17\left(3x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-4\right)\left(18x+17\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-4=0 та 18x+17=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{17}{18}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$54x^{2}-21x-68=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 54 замість a, -21 замість b і -68 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 54\left(-68\right)}}{2\times 54}$$

Піднесіть -21 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 54\left(-68\right)}}{2\times 54}$$

Помножте -4 на 54.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-216\left(-68\right)}}{2\times 54}$$

Помножте -216 на -68.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+14688}}{2\times 54}$$

Додайте 441 до 14688.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{15129}}{2\times 54}$$

Видобудьте квадратний корінь із 15129.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±123}{2\times 54}$$

Число, протилежне до -21, дорівнює 21.

$$x=\frac{21±123}{2\times 54}$$

Помножте 2 на 54.

$$x=\frac{21±123}{108}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{21±123}{108} за додатного значення ±. Додайте 21 до 123.

$$x=\frac{144}{108}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 36, щоб звести дріб \frac{144}{108} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{21±123}{108} за від’ємного значення ±. Відніміть 123 від 21.

$$x=-\frac{102}{108}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-102}{108} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{17}{18}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{17}{18}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}-21x-68=0$$

Додайте 68 до обох сторін цього рівняння.

$$54x^{2}-21x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

Якщо відняти -68 від самого себе, залишиться 0.

$$54x^{2}-21x=-\left(-68\right)$$

Відніміть -68 від 0.

$$54x^{2}-21x=68$$

Розділіть обидві сторони на 54.

$$\frac{54x^{2}-21x}{54}=\frac{68}{54}$$

Ділення на 54 скасовує множення на 54.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{54}\right)x=\frac{68}{54}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-21}{54} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{18}x=\frac{68}{54}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{68}{54} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{18}x=\frac{34}{27}$$

Поділіть -\frac{7}{18} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{36}. Потім додайте -\frac{7}{36} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{18}x+\left(-\frac{7}{36}\right)^{2}=\frac{34}{27}+\left(-\frac{7}{36}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{36} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{18}x+\frac{49}{1296}=\frac{34}{27}+\frac{49}{1296}$$

Щоб додати \frac{34}{27} до \frac{49}{1296}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{18}x+\frac{49}{1296}=\frac{1681}{1296}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{18}x+\frac{49}{1296} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{36}\right)^{2}=\frac{1681}{1296}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{36}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{1296}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{36}=\frac{41}{36} x-\frac{7}{36}=-\frac{41}{36}$$

Додайте \frac{7}{36} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{17}{18}$$