Розв'яжіть 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 53 на a, 5 – на b, а -12 – на c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} і x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} має додатне значення, а x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} – від’ємне.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} має додатне значення, а x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} – від’ємне.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$