Розв'яжіть 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

Розкласти на множники

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 52z^{2}+az+bz+3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -43.

$$a=-39 b=-4$$

Перепишіть 52z^{2}-43z+3 як \left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

Винесіть за дужки 13z в першій і -1 у другій групі.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 4z-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Піднесіть -43 до квадрата.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

Помножте -4 на 52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

Помножте -208 на 3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

Додайте 1849 до -624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

Число, протилежне до -43, дорівнює 43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

Помножте 2 на 52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{43±35}{104} за додатного значення ±. Додайте 43 до 35.

$$z=\frac{78}{104}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 26, щоб звести дріб \frac{78}{104} до нескоротного вигляду.

$$z=\frac{3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{43±35}{104} за від’ємного значення ±. Відніміть 35 від 43.

$$z=\frac{8}{104}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{8}{104} до нескоротного вигляду.

$$z=\frac{1}{13}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{4} на x_{1} та \frac{1}{13} на x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Щоб відняти z від \frac{3}{4}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

Щоб відняти z від \frac{1}{13}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

Щоб помножити \frac{4z-3}{4} на \frac{13z-1}{13}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

Помножте 4 на 13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

Відкиньте 52, тобто найбільший спільний дільник для 52 й 52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

Обчислити

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$