Розв'яжіть 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1,5+2,179449472i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Якщо відняти 12 від самого себе, залишиться 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Відніміть 12 від 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 3 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 9 до -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} за додатного значення ±. Додайте -3 до i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Розділіть -3+i\sqrt{19} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{19} від -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Розділіть -3-i\sqrt{19} на -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Відніміть 5 від 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Розділіть 3 на -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Розділіть 7 на -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Додайте -7 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$