Розв'яжіть 5y^2-9y-18

$$5 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

Розкласти на множники

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 5y^{2}+ay+by-18. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-9 ab=5\left(-18\right)=-90$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$a=-15 b=6$$

Перепишіть 5y^{2}-9y-18 як \left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right)$$

5y на першій та 6 в друге групу.

$$5y\left(y-3\right)+6\left(y-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член y-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}-9y-18=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 5}$$

Додайте 81 до 360.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 441.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$y=\frac{9±21}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$y=\frac{9±21}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{9±21}{10} за додатного значення ±. Додайте 9 до 21.

$$y=\frac{30}{10}$$

Розділіть 30 на 10.

$$y=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{9±21}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 21 від 9.

$$y=-\frac{12}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-12}{10} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{6}{5}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 3 на x_{1} та -\frac{6}{5} на x_{2}.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y+\frac{6}{5}\right)$$

Щоб додати \frac{6}{5} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\times \frac{5y+6}{5}$$

Відкиньте 5, тобто найбільший спільний дільник для 5 й 5.

$$5y^{2}-9y-18=\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

Обчислити

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$