Розв'яжіть 5y^2-3y-36=0

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

Знайдіть y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2,4$$

$$y=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 5y^{2}+ay+by-36. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -3.

$$a=-15 b=12$$

Перепишіть 5y^{2}-3y-36 як \left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

5y на першій та 12 в друге групу.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член y-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть y-3=0 та 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -3 замість b і -36 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

Додайте 9 до 720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 729.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{3±27}{10} за додатного значення ±. Додайте 3 до 27.

$$y=\frac{30}{10}$$

Розділіть 30 на 10.

$$y=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{3±27}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 27 від 3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-24}{10} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Додайте 36 до обох сторін цього рівняння.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Якщо відняти -36 від самого себе, залишиться 0.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

Відніміть -36 від 0.

$$5y^{2}-3y=36$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

Поділіть -\frac{3}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{10}. Потім додайте -\frac{3}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

Щоб додати \frac{36}{5} до \frac{9}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

Розкладіть y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

Додайте \frac{3}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$