Розв'яжіть 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Знайдіть x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$5x-2y=1$$

Додайте 2y до обох сторін цього рівняння.

$$5x=2y+1$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Помножте \frac{1}{5} на 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Підставте \frac{2y+1}{5} замість x в іншому рівнянні: 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Помножте 3 на \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Додайте \frac{6y}{5} до 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Відніміть \frac{3}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{31}{5}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Помножте \frac{2}{5} на 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Щоб додати \frac{1}{5} до \frac{4}{5}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=1$$

Систему розв’язано.

$$x=1,y=2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=1,y=2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Щоб отримати рівність між 5x і 3x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 3, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Виконайте спрощення.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Знайдіть різницю 15x+25y=65 і 15x-6y=3. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Додайте 15x до -15x. Члени 15x та -15x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-6y-25y=3-65$$

Додайте -6y до -25y.

$$-31y=3-65$$

Додайте 3 до -65.

$$-31y=-62$$

Розділіть обидві сторони на -31.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння 3x+5y=13. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$3x+5\times 2=13$$

Помножте 5 на 2.

$$3x+10=13$$

Відніміть 10 від обох сторін цього рівняння.

$$3x=3$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=1$$

Систему розв’язано.

$$x=1,y=2$$