Розв'яжіть 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -7 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Додайте 49 до 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} за додатного значення ±. Додайте 7 до \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{109} від 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Відніміть -3 від 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Поділіть -\frac{7}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{10}. Потім додайте -\frac{7}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Щоб додати \frac{3}{5} до \frac{49}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Додайте \frac{7}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$