Розв'яжіть 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 24 з обох сторін.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 5x^{2}+ax+bx-24. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-15 b=8$$

Перепишіть 5x^{2}-7x-24 як \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

5x на першій та 8 в друге групу.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-3=0 та 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-7x=24$$

Відніміть 24 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Якщо відняти 24 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -7 замість b і -24 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Додайте 49 до 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±23}{10} за додатного значення ±. Додайте 7 до 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Розділіть 30 на 10.

$$x=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±23}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 23 від 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-16}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Поділіть -\frac{7}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{10}. Потім додайте -\frac{7}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Щоб додати \frac{24}{5} до \frac{49}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Додайте \frac{7}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$