Розв'яжіть 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -5 замість b і -17 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Додайте 25 до 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Розділіть 5+\sqrt{365} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{365} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Розділіть 5-\sqrt{365} на 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Додайте 17 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Якщо відняти -17 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Відніміть -17 від 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Розділіть -5 на 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати \frac{17}{5} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$