Розв'яжіть 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -40 замість b і 85 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Піднесіть -40 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Додайте 1600 до -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -40, дорівнює 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{40±10i}{10} за додатного значення ±. Додайте 40 до 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Розділіть 40+10i на 10.

$$x=4+i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{40±10i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 10i від 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Розділіть 40-10i на 10.

$$x=4-i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=4+i x=4-i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Відніміть 85 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Якщо відняти 85 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Розділіть -40 на 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Розділіть -85 на 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Поділіть -8 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -4. Потім додайте -4 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Додайте -17 до 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Розкладіть x^{2}-8x+16 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Виконайте спрощення.

$$x-4=i x-4=-i$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$x=4+i x=4-i$$