Розв'яжіть 5x^2-2x+70=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 70 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{349}i}{5}\approx 0,2+3,736308338i$$

$$x=\frac{-\sqrt{349}i+1}{5}\approx 0,2-3,736308338i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-2x+70=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -2 замість b і 70 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 70}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 70}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 70.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-1400}}{2\times 5}$$

Додайте 4 до -1400.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-1396}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -1396.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{349}i}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{349}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{349}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{349}i}{10} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2i\sqrt{349}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{349}i}{10}$$

Розділіть 2+2i\sqrt{349} на 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{349}i}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{349}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{349} від 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{349}i+2}{10}$$

Розділіть 2-2i\sqrt{349} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{349}i+1}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1+\sqrt{349}i}{5} x=\frac{-\sqrt{349}i+1}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+70=0$$

Відніміть 70 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-2x+70-70=-70$$

Якщо відняти 70 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-2x=-70$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{70}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{70}{5}$$

Розділіть -70 на 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-14$$

Поділіть -\frac{2}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{5}. Потім додайте -\frac{1}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-14+\frac{1}{25}$$

Додайте -14 до \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{349}{25}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{349}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{349}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{349}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{349}i}{5}$$

Додайте \frac{1}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1+\sqrt{349}i}{5} x=\frac{-\sqrt{349}i+1}{5}$$