Розв'яжіть 5x^2+8x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x + 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}\approx -0,136675042$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}\approx -1,463324958$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 8 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20}}{2\times 5}$$

Додайте 64 до -20.

$$x=\frac{-8±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 44.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10} за додатного значення ±. Додайте -8 до 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-8}{10}$$

Розділіть -8+2\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{11} від -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-8}{10}$$

Розділіть -8-2\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+8x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+8x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Поділіть \frac{8}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{4}{5}. Потім додайте \frac{4}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{4}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{16}{25}$$

Щоб додати -\frac{1}{5} до \frac{16}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{11}{25}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Відніміть \frac{4}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$