Розв'яжіть 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Розділіть обидві сторони на 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -15.

$$-1,15 -3,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 14.

$$a=-1 b=15$$

Перепишіть x^{2}+14x-15 як \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

x на першій та 15 в друге групу.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 70 замість b і -75 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть 70 до квадрата.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Додайте 4900 до 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-70±80}{10} за додатного значення ±. Додайте -70 до 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Розділіть 10 на 10.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-70±80}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 80 від -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Розділіть -150 на 10.

$$x=-15$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-15$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Додайте 75 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Якщо відняти -75 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Відніміть -75 від 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Розділіть 70 на 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Розділіть 75 на 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Поділіть 14 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 7. Потім додайте 7 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Додайте 15 до 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Розкладіть x^{2}+14x+49 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Виконайте спрощення.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-15$$