Розв'яжіть 5x^2+6x+10=0

$$5 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}\approx -0,6+1,280624847i$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}\approx -0,6-1,280624847i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 6 замість b і 10 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Піднесіть 6 до квадрата.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\times 10}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-200}}{2\times 5}$$

Додайте 36 до -200.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-164}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -164.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -6 до 2i\sqrt{41}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{41}i}{10}$$

Розділіть -6+2i\sqrt{41} на 10.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±2\sqrt{41}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{41} від -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{41}i-6}{10}$$

Розділіть -6-2i\sqrt{41} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+6x+10=0$$

Відніміть 10 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+6x+10-10=-10$$

Якщо відняти 10 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+6x=-10$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Розділіть -10 на 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-2$$

Поділіть \frac{6}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{5}. Потім додайте \frac{3}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-2+\frac{9}{25}$$

Додайте -2 до \frac{9}{25}.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{41}{25}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{41}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{41}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{41}i}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{41}i}{5}$$

Відніміть \frac{3}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3+\sqrt{41}i}{5} x=\frac{-\sqrt{41}i-3}{5}$$