Розв'яжіть 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0,4+0,663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0,4-0,663324958i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 4 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Додайте 16 до -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -4 до 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Розділіть -4+2i\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{11} від -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Розділіть -4-2i\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Якщо відняти 3 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Поділіть \frac{4}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{2}{5}. Потім додайте \frac{2}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{2}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Щоб додати -\frac{3}{5} до \frac{4}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Відніміть \frac{2}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$