Розв'яжіть 5x^2+3x+12=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 12 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{231}i}{10}\approx -0,3+1,519868415i$$

$$x=\frac{-\sqrt{231}i-3}{10}\approx -0,3-1,519868415i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+3x+12=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 3 замість b і 12 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\times 12}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 12.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-240}}{2\times 5}$$

Додайте 9 до -240.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-231}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -231.

$$x=\frac{-3±\sqrt{231}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{231}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{231}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -3 до i\sqrt{231}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{231}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{231}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{231} від -3.

$$x=\frac{-\sqrt{231}i-3}{10}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3+\sqrt{231}i}{10} x=\frac{-\sqrt{231}i-3}{10}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+12=0$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+3x+12-12=-12$$

Якщо відняти 12 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+3x=-12$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{12}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{12}{5}$$

Поділіть \frac{3}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{10}. Потім додайте \frac{3}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{12}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{12}{5}+\frac{9}{100}$$

Щоб додати -\frac{12}{5} до \frac{9}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{231}{100}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{231}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{231}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{231}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{231}i}{10}$$

Відніміть \frac{3}{10} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3+\sqrt{231}i}{10} x=\frac{-\sqrt{231}i-3}{10}$$