Розв'яжіть 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 3 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Додайте 9 до -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -3 до i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{11} від -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Поділіть \frac{3}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{10}. Потім додайте \frac{3}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Щоб додати -\frac{1}{5} до \frac{9}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Відніміть \frac{3}{10} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$