Розв'яжіть 5x^2+2x+8=0

$$5 x ^ { 2 } + 2 x + 8 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}\approx -0,2+1,2489996i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}\approx -0,2-1,2489996i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 2 замість b і 8 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\times 8}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\times 8}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-160}}{2\times 5}$$

Додайте 4 до -160.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-156}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -156.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{39}i}{10}$$

Розділіть -2+2i\sqrt{39} на 10.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{39}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{39} від -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{39}i-2}{10}$$

Розділіть -2-2i\sqrt{39} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+2x+8=0$$

Відніміть 8 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+2x+8-8=-8$$

Якщо відняти 8 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+2x=-8$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+2x}{5}=-\frac{8}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x=-\frac{8}{5}$$

Поділіть \frac{2}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{5}. Потім додайте \frac{1}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{5}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{8}{5}+\frac{1}{25}$$

Щоб додати -\frac{8}{5} до \frac{1}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{39}{25}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{39}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{39}i}{5} x+\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{39}i}{5}$$

Відніміть \frac{1}{5} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{39}i}{5} x=\frac{-\sqrt{39}i-1}{5}$$