Розв'яжіть 5p^2-48p-20

$$5 p ^ { 2 } - 48 p - 20$$

Розкласти на множники

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 5p^{2}+ap+bp-20. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-48 ab=5\left(-20\right)=-100$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -100.

$$1,-100 2,-50 4,-25 5,-20 10,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-100=-99 2-50=-48 4-25=-21 5-20=-15 10-10=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -48.

$$a=-50 b=2$$

Перепишіть 5p^{2}-48p-20 як \left(5p^{2}-50p\right)+\left(2p-20\right).

$$\left(5p^{2}-50p\right)+\left(2p-20\right)$$

5p на першій та 2 в друге групу.

$$5p\left(p-10\right)+2\left(p-10\right)$$

Винесіть за дужки спільний член p-10, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$5p^{2}-48p-20=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -48 до квадрата.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\left(-20\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -20.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+400}}{2\times 5}$$

Додайте 2304 до 400.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2704}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2704.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±52}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -48, дорівнює 48.

$$p=\frac{48±52}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$p=\frac{48±52}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{48±52}{10} за додатного значення ±. Додайте 48 до 52.

$$p=\frac{100}{10}$$

Розділіть 100 на 10.

$$p=10$$

Тепер розв’яжіть рівняння p=\frac{48±52}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 52 від 48.

$$p=-\frac{4}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-4}{10} до нескоротного вигляду.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 10 на x_{1} та -\frac{2}{5} на x_{2}.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\left(p+\frac{2}{5}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{5} до p, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$5p^{2}-48p-20=5\left(p-10\right)\times \frac{5p+2}{5}$$

Відкиньте 5, тобто найбільший спільний дільник для 5 й 5.

$$5p^{2}-48p-20=\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$

Обчислити

$$\left(p-10\right)\left(5p+2\right)$$