Розв'яжіть 5m^2-14m-15=0

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

Знайдіть m

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3,627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0,827105745$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -14 замість b і -15 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -15.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

Додайте 196 до 300.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 496.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} за додатного значення ±. Додайте 14 до 4\sqrt{31}.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

Розділіть 14+4\sqrt{31} на 10.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 4\sqrt{31} від 14.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

Розділіть 14-4\sqrt{31} на 10.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Додайте 15 до обох сторін цього рівняння.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Якщо відняти -15 від самого себе, залишиться 0.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

Відніміть -15 від 0.

$$5m^{2}-14m=15$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

Розділіть 15 на 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

Поділіть -\frac{14}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{5}. Потім додайте -\frac{7}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

Додайте 3 до \frac{49}{25}.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

Розкладіть m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

Додайте \frac{7}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$