Розв'яжіть 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Знайдіть y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -90 замість b і 54 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Піднесіть -90 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Додайте 8100 до -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -90, дорівнює 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} за додатного значення ±. Додайте 90 до 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Розділіть 90+6\sqrt{195} на 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 6\sqrt{195} від 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Розділіть 90-6\sqrt{195} на 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Відніміть 54 від обох сторін цього рівняння.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Якщо відняти 54 від самого себе, залишиться 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Розділіть -90 на 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Поділіть -18 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -9. Потім додайте -9 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Додайте -\frac{54}{5} до 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Розкладіть y^{2}-18y+81 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$