Розв'яжіть 5x^2-4x+5=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+5 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}\approx 0,4+0,916515139i$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}\approx 0,4-0,916515139i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -4 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Піднесіть -4 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 5}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-100}}{2\times 5}$$

Додайте 16 до -100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-84}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -4, дорівнює 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} за додатного значення ±. Додайте 4 до 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{21}i}{10}$$

Розділіть 4+2i\sqrt{21} на 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{4±2\sqrt{21}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{21} від 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+4}{10}$$

Розділіть 4-2i\sqrt{21} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-4x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-4x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{5}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{5}{5}$$

Розділіть -5 на 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-1$$

Поділіть -\frac{4}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{5}. Потім додайте -\frac{2}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-1+\frac{4}{25}$$

Додайте -1 до \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{21}{25}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{21}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{21}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{21}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{21}i}{5}$$

Додайте \frac{2}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{2+\sqrt{21}i}{5} x=\frac{-\sqrt{21}i+2}{5}$$