Розв'яжіть 5x^2-3x-14

$$5 { x }^{ 2 } -3x-14$$

Розкласти на множники

$$\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 5x^{2}+ax+bx-14. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-3 ab=5\left(-14\right)=-70$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -3.

$$a=-10 b=7$$

Перепишіть 5x^{2}-3x-14 як \left(5x^{2}-10x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(7x-14\right)$$

5x на першій та 7 в друге групу.

$$5x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-3x-14=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+280}}{2\times 5}$$

Додайте 9 до 280.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 289.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±17}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±17}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{3±17}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±17}{10} за додатного значення ±. Додайте 3 до 17.

$$x=\frac{20}{10}$$

Розділіть 20 на 10.

$$x=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±17}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 17 від 3.

$$x=-\frac{14}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 2 на x_{1} та -\frac{7}{5} на x_{2}.

$$5x^{2}-3x-14=5\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{7}{5}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$5x^{2}-3x-14=5\left(x-2\right)\left(x+\frac{7}{5}\right)$$

Щоб додати \frac{7}{5} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$5x^{2}-3x-14=5\left(x-2\right)\times \frac{5x+7}{5}$$

Відкиньте 5, тобто найбільший спільний дільник для 5 й 5.

$$5x^{2}-3x-14=\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$

Обчислити

$$\left(x-2\right)\left(5x+7\right)$$