Розв'яжіть 5x^2-32x=48

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Знайдіть x

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-32x=48$$

Відніміть 48 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Якщо відняти 48 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -32 замість b і -48 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -32 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Додайте 1024 до 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -32, дорівнює 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} за додатного значення ±. Додайте 32 до 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

Розділіть 32+8\sqrt{31} на 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 8\sqrt{31} від 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

Розділіть 32-8\sqrt{31} на 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-32x=48$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Поділіть -\frac{32}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{16}{5}. Потім додайте -\frac{16}{5} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{16}{5} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

Щоб додати \frac{48}{5} до \frac{256}{25}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Додайте \frac{16}{5} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$