Розв'яжіть 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 5x^{2}+ax+bx-42. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -29.

$$a=-35 b=6$$

Перепишіть 5x^{2}-29x-42 як \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

5x на першій та 6 в друге групу.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-7=0 та 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -29 замість b і -42 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -29 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Додайте 841 до 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -29, дорівнює 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{29±41}{10} за додатного значення ±. Додайте 29 до 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Розділіть 70 на 10.

$$x=7$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{29±41}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 41 від 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-12}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Додайте 42 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Якщо відняти -42 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Відніміть -42 від 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Поділіть -\frac{29}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{29}{10}. Потім додайте -\frac{29}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{29}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Щоб додати \frac{42}{5} до \frac{841}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Додайте \frac{29}{10} до обох сторін цього рівняння.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$