Розв'яжіть 5x^2-25x-12=0

$$5 { x }^{ 2 } -25x-12=0$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx 5,441088234$$

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx -0,441088234$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, -25 замість b і -12 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -25 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -12.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+240}}{2\times 5}$$

Додайте 625 до 240.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -25, дорівнює 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} за додатного значення ±. Додайте 25 до \sqrt{865}.

$$x=\frac{\sqrt{865}+25}{10}$$

Розділіть 25+\sqrt{865} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{865} від 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{865}}{10}$$

Розділіть 25-\sqrt{865} на 10.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Додайте 12 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}-25x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Якщо відняти -12 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}-25x=-\left(-12\right)$$

Відніміть -12 від 0.

$$5x^{2}-25x=12$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}-25x}{5}=\frac{12}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{25}{5}\right)x=\frac{12}{5}$$

Розділіть -25 на 5.

$$x^{2}-5x=\frac{12}{5}$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{12}{5}+\frac{25}{4}$$

Щоб додати \frac{12}{5} до \frac{25}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{173}{20}$$

Розкладіть x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{173}{20}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173}{20}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{865}}{10} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{865}}{10}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$