Розв'яжіть 5x^2-23x-10

$$5 { x }^{ 2 } -23x-10$$

Розкласти на множники

$$\left(x-5\right)\left(5x+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 5x^{2}+ax+bx-10. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-23 ab=5\left(-10\right)=-50$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -50.

$$1,-50 2,-25 5,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-50=-49 2-25=-23 5-10=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-25 b=2$$

Перепишіть 5x^{2}-23x-10 як \left(5x^{2}-25x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(5x^{2}-25x\right)+\left(2x-10\right)$$

5x на першій та 2 в друге групу.

$$5x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-5\right)\left(5x+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-23x-10=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Піднесіть -23 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на -10.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+200}}{2\times 5}$$

Додайте 529 до 200.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 729.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±27}{2\times 5}$$

Число, протилежне до -23, дорівнює 23.

$$x=\frac{23±27}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{23±27}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{23±27}{10} за додатного значення ±. Додайте 23 до 27.

$$x=\frac{50}{10}$$

Розділіть 50 на 10.

$$x=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{23±27}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 27 від 23.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-4}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 5 на x_{1} та -\frac{2}{5} на x_{2}.

$$5x^{2}-23x-10=5\left(x-5\right)\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$5x^{2}-23x-10=5\left(x-5\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{5} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$5x^{2}-23x-10=5\left(x-5\right)\times \frac{5x+2}{5}$$

Відкиньте 5, тобто найбільший спільний дільник для 5 й 5.

$$5x^{2}-23x-10=\left(x-5\right)\left(5x+2\right)$$

Обчислити

$$\left(x-5\right)\left(5x+2\right)$$