Розв'яжіть 5x^2+7x=-3=

$$5 { x }^{ 2 } +7x = -3 =$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,7+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}\approx -0,7-0,331662479i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+7x-\left(-3\right)=0$$

Відніміть -3 від 0.

$$5x^{2}+7x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 7 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 3}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60}}{2\times 5}$$

Додайте 49 до -60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -11.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -7 до i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±\sqrt{11}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{11} від -7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+7x=-3$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Поділіть \frac{7}{5} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{10}. Потім додайте \frac{7}{10} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{10} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Щоб додати -\frac{3}{5} до \frac{49}{100}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{11}{100}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Відніміть \frac{7}{10} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-7+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-7}{10}$$