Розв'яжіть 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 5 замість a, 5 замість b і 9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Додайте 25 до -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} за додатного значення ±. Додайте -5 до i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Розділіть -5+i\sqrt{155} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{155} від -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Розділіть -5-i\sqrt{155} на 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Розділіть 5 на 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати -\frac{9}{5} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$