Розв'яжіть 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Розкласти на множники

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 5x^{2}+ax+bx+12. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 23.

$$a=3 b=20$$

Перепишіть 5x^{2}+23x+12 як \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

x на першій та 4 в друге групу.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5x+3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Піднесіть 23 до квадрата.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Помножте -4 на 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Помножте -20 на 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Додайте 529 до -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Видобудьте квадратний корінь із 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Помножте 2 на 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-23±17}{10} за додатного значення ±. Додайте -23 до 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-6}{10} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-23±17}{10} за від’ємного значення ±. Відніміть 17 від -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Розділіть -40 на 10.

$$x=-4$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{3}{5} на x_{1} та -4 на x_{2}.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Щоб додати \frac{3}{5} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Відкиньте 5, тобто найбільший спільний дільник для 5 й 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Обчислити

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$