Розв'яжіть 49x^2-42x+9

$$49 x ^ { 2 } - 42 x + 9$$

Розкласти на множники

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 49x^{2}+ax+bx+9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-42 ab=49\times 9=441$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -42.

$$a=-21 b=-21$$

Перепишіть 49x^{2}-42x+9 як \left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right).

$$\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right)$$

7x на першій та -3 в друге групу.

$$7x\left(7x-3\right)-3\left(7x-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 7x-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(49x^{2}-42x+9)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(49,-42,9)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 49x^{2}.

$$\sqrt{49x^{2}}=7x$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Піднесіть -42 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Помножте -4 на 49.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-196\times 9}}{2\times 49}$$

Помножте -196 на 9.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 49}$$

Додайте 1764 до -1764.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 49}$$

Число, протилежне до -42, дорівнює 42.

$$x=\frac{42±0}{2\times 49}$$

Помножте 2 на 49.

$$x=\frac{42±0}{98}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{7} на x_{1} та \frac{3}{7} на x_{2}.

$$49x^{2}-42x+9=49\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{3}{7}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Щоб відняти x від \frac{3}{7}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\times \frac{7x-3}{7}$$

Щоб помножити \frac{7x-3}{7} на \frac{7x-3}{7}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{7\times 7}$$

Помножте 7 на 7.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{49}$$

Відкиньте 49, тобто найбільший спільний дільник для 49 й 49.

$$49x^{2}-42x+9=\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Обчислити

$$\left(7x-3\right)^{2}$$