Розв'яжіть 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 49 замість a, 30 замість b і 25 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Піднесіть 30 до квадрата.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Помножте -4 на 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Помножте -196 на 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Додайте 900 до -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Видобудьте квадратний корінь із -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Помножте 2 на 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} за додатного значення ±. Додайте -30 до 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Розділіть -30+20i\sqrt{10} на 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} за від’ємного значення ±. Відніміть 20i\sqrt{10} від -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Розділіть -30-20i\sqrt{10} на 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Відніміть 25 від обох сторін цього рівняння.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Якщо відняти 25 від самого себе, залишиться 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Розділіть обидві сторони на 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Ділення на 49 скасовує множення на 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Поділіть \frac{30}{49} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{15}{49}. Потім додайте \frac{15}{49} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{15}{49} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Щоб додати -\frac{25}{49} до \frac{225}{2401}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Відніміть \frac{15}{49} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$