Розв'яжіть 49v^2+112v+64

$$49 v ^ { 2 } + 112 v + 64$$

Розкласти на множники

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 49v^{2}+av+bv+64. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=112 ab=49\times 64=3136$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 3136.

$$1,3136 2,1568 4,784 7,448 8,392 14,224 16,196 28,112 32,98 49,64 56,56$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+3136=3137 2+1568=1570 4+784=788 7+448=455 8+392=400 14+224=238 16+196=212 28+112=140 32+98=130 49+64=113 56+56=112$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 112.

$$a=56 b=56$$

Перепишіть 49v^{2}+112v+64 як \left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right).

$$\left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right)$$

7v на першій та 8 в друге групу.

$$7v\left(7v+8\right)+8\left(7v+8\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 7v+8, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(49v^{2}+112v+64)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(49,112,64)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 49v^{2}.

$$\sqrt{49v^{2}}=7v$$

Видобудьте квадратний корінь із наймолодшого члена: 64.

$$\sqrt{64}=8$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$49v^{2}+112v+64=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$v=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Піднесіть 112 до квадрата.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

Помножте -4 на 49.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-196\times 64}}{2\times 49}$$

Помножте -196 на 64.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-12544}}{2\times 49}$$

Додайте 12544 до -12544.

$$v=\frac{-112±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$v=\frac{-112±0}{2\times 49}$$

Помножте 2 на 49.

$$v=\frac{-112±0}{98}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{8}{7} на x_{1} та -\frac{8}{7} на x_{2}.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v+\frac{8}{7}\right)\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{8}{7} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

Щоб додати \frac{8}{7} до v, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\times \frac{7v+8}{7}$$

Щоб помножити \frac{7v+8}{7} на \frac{7v+8}{7}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{7\times 7}$$

Помножте 7 на 7.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{49}$$

Відкиньте 49, тобто найбільший спільний дільник для 49 й 49.

$$49v^{2}+112v+64=\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

Обчислити

$$\left(7v+8\right)^{2}$$