Розв'яжіть 49t^2-5t+1225=0

$$49 t ^ { 2 } - 5 t + 1225 = 0$$

Знайдіть t

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98}\approx 0,051020408+4,999739685i$$

$$t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}\approx 0,051020408-4,999739685i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$49t^{2}-5t+1225=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 49 замість a, -5 замість b і 1225 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 49\times 1225}}{2\times 49}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 49\times 1225}}{2\times 49}$$

Помножте -4 на 49.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-196\times 1225}}{2\times 49}$$

Помножте -196 на 1225.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-240100}}{2\times 49}$$

Додайте 25 до -240100.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-240075}}{2\times 49}$$

Видобудьте квадратний корінь із -240075.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±15\sqrt{1067}i}{2\times 49}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{2\times 49}$$

Помножте 2 на 49.

$$t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{98}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{98} за додатного значення ±. Додайте 5 до 15i\sqrt{1067}.

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{5±15\sqrt{1067}i}{98} за від’ємного значення ±. Відніміть 15i\sqrt{1067} від 5.

$$t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98} t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-5t+1225=0$$

Відніміть 1225 від обох сторін цього рівняння.

$$49t^{2}-5t+1225-1225=-1225$$

Якщо відняти 1225 від самого себе, залишиться 0.

$$49t^{2}-5t=-1225$$

Розділіть обидві сторони на 49.

$$\frac{49t^{2}-5t}{49}=-\frac{1225}{49}$$

Ділення на 49 скасовує множення на 49.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t=-\frac{1225}{49}$$

Розділіть -1225 на 49.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t=-25$$

Поділіть -\frac{5}{49} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{98}. Потім додайте -\frac{5}{98} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t+\left(-\frac{5}{98}\right)^{2}=-25+\left(-\frac{5}{98}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{98} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t+\frac{25}{9604}=-25+\frac{25}{9604}$$

Додайте -25 до \frac{25}{9604}.

$$t^{2}-\frac{5}{49}t+\frac{25}{9604}=-\frac{240075}{9604}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{5}{49}t+\frac{25}{9604} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{5}{98}\right)^{2}=-\frac{240075}{9604}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{98}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{240075}{9604}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{5}{98}=\frac{15\sqrt{1067}i}{98} t-\frac{5}{98}=-\frac{15\sqrt{1067}i}{98}$$

Додайте \frac{5}{98} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{5+15\sqrt{1067}i}{98} t=\frac{-15\sqrt{1067}i+5}{98}$$