Розв'яжіть 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 42x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-14 b=9$$

Перепишіть 42x^{2}-5x-3 як \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

14x на першій та 3 в друге групу.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-1=0 та 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 42 замість a, -5 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Помножте -4 на 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Помножте -168 на -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Додайте 25 до 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Видобудьте квадратний корінь із 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Помножте 2 на 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±23}{84} за додатного значення ±. Додайте 5 до 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 28, щоб звести дріб \frac{28}{84} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±23}{84} за від’ємного значення ±. Відніміть 23 від 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-18}{84} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Якщо відняти -3 від самого себе, залишиться 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Відніміть -3 від 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Розділіть обидві сторони на 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Ділення на 42 скасовує множення на 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{3}{42} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Поділіть -\frac{5}{42} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{84}. Потім додайте -\frac{5}{84} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{84} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Щоб додати \frac{1}{14} до \frac{25}{7056}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Додайте \frac{5}{84} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$