Розв'яжіть 42m^2-89m-21

$$42 m ^ { 2 } - 89 m - 21$$

Розкласти на множники

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 42m^{2}+am+bm-21. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-89 ab=42\left(-21\right)=-882$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -882.

$$1,-882 2,-441 3,-294 6,-147 7,-126 9,-98 14,-63 18,-49 21,-42$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-882=-881 2-441=-439 3-294=-291 6-147=-141 7-126=-119 9-98=-89 14-63=-49 18-49=-31 21-42=-21$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -89.

$$a=-98 b=9$$

Перепишіть 42m^{2}-89m-21 як \left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right).

$$\left(42m^{2}-98m\right)+\left(9m-21\right)$$

14m на першій та 3 в друге групу.

$$14m\left(3m-7\right)+3\left(3m-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3m-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$42m^{2}-89m-21=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{\left(-89\right)^{2}-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Піднесіть -89 до квадрата.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-4\times 42\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Помножте -4 на 42.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921-168\left(-21\right)}}{2\times 42}$$

Помножте -168 на -21.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{7921+3528}}{2\times 42}$$

Додайте 7921 до 3528.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±\sqrt{11449}}{2\times 42}$$

Видобудьте квадратний корінь із 11449.

$$m=\frac{-\left(-89\right)±107}{2\times 42}$$

Число, протилежне до -89, дорівнює 89.

$$m=\frac{89±107}{2\times 42}$$

Помножте 2 на 42.

$$m=\frac{89±107}{84}$$

Тепер розв’яжіть рівняння m=\frac{89±107}{84} за додатного значення ±. Додайте 89 до 107.

$$m=\frac{196}{84}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 28, щоб звести дріб \frac{196}{84} до нескоротного вигляду.

$$m=\frac{7}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння m=\frac{89±107}{84} за від’ємного значення ±. Відніміть 107 від 89.

$$m=-\frac{18}{84}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-18}{84} до нескоротного вигляду.

$$m=-\frac{3}{14}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{7}{3} на x_{1} та -\frac{3}{14} на x_{2}.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m-\left(-\frac{3}{14}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$42m^{2}-89m-21=42\left(m-\frac{7}{3}\right)\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Щоб відняти m від \frac{7}{3}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\left(m+\frac{3}{14}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{14} до m, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{3m-7}{3}\times \frac{14m+3}{14}$$

Щоб помножити \frac{3m-7}{3} на \frac{14m+3}{14}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{3\times 14}$$

Помножте 3 на 14.

$$42m^{2}-89m-21=42\times \frac{\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)}{42}$$

Відкиньте 42, тобто найбільший спільний дільник для 42 й 42.

$$42m^{2}-89m-21=\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$

Обчислити

$$\left(3m-7\right)\left(14m+3\right)$$