Розв'яжіть 42x^2-696x+3240=0

$$42 { x }^{ 2 } -696x+3240=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7}\approx 8,285714286+2,913725436i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}\approx 8,285714286-2,913725436i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$42x^{2}-696x+3240=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 42 замість a, -696 замість b і 3240 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{\left(-696\right)^{2}-4\times 42\times 3240}}{2\times 42}$$

Піднесіть -696 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{484416-4\times 42\times 3240}}{2\times 42}$$

Помножте -4 на 42.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{484416-168\times 3240}}{2\times 42}$$

Помножте -168 на 3240.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{484416-544320}}{2\times 42}$$

Додайте 484416 до -544320.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±\sqrt{-59904}}{2\times 42}$$

Видобудьте квадратний корінь із -59904.

$$x=\frac{-\left(-696\right)±48\sqrt{26}i}{2\times 42}$$

Число, протилежне до -696, дорівнює 696.

$$x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{2\times 42}$$

Помножте 2 на 42.

$$x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{84}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{84} за додатного значення ±. Додайте 696 до 48i\sqrt{26}.

$$x=\frac{696+48\sqrt{26}i}{84}$$

Розділіть 696+48i\sqrt{26} на 84.

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{696±48\sqrt{26}i}{84} за від’ємного значення ±. Відніміть 48i\sqrt{26} від 696.

$$x=\frac{-48\sqrt{26}i+696}{84}$$

Розділіть 696-48i\sqrt{26} на 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7} x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-696x+3240=0$$

Відніміть 3240 від обох сторін цього рівняння.

$$42x^{2}-696x+3240-3240=-3240$$

Якщо відняти 3240 від самого себе, залишиться 0.

$$42x^{2}-696x=-3240$$

Розділіть обидві сторони на 42.

$$\frac{42x^{2}-696x}{42}=-\frac{3240}{42}$$

Ділення на 42 скасовує множення на 42.

$$x^{2}+\left(-\frac{696}{42}\right)x=-\frac{3240}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-696}{42} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x=-\frac{3240}{42}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-3240}{42} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x=-\frac{540}{7}$$

Поділіть -\frac{116}{7} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{58}{7}. Потім додайте -\frac{58}{7} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x+\left(-\frac{58}{7}\right)^{2}=-\frac{540}{7}+\left(-\frac{58}{7}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{58}{7} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x+\frac{3364}{49}=-\frac{540}{7}+\frac{3364}{49}$$

Щоб додати -\frac{540}{7} до \frac{3364}{49}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{116}{7}x+\frac{3364}{49}=-\frac{416}{49}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{116}{7}x+\frac{3364}{49} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{58}{7}\right)^{2}=-\frac{416}{49}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{58}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{416}{49}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{58}{7}=\frac{4\sqrt{26}i}{7} x-\frac{58}{7}=-\frac{4\sqrt{26}i}{7}$$

Додайте \frac{58}{7} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{58+4\sqrt{26}i}{7} x=\frac{-4\sqrt{26}i+58}{7}$$