Розв'яжіть 40+40(1+x)+40left(1+xright)^2=0

$$40+40(1+x)+40 { \left(1+x \right) }^{ 2 } =0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-0,866025404i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40 на 1+x.

$$40+40+40x+40\left(1+x\right)^{2}=0$$

Додайте 40 до 40, щоб обчислити 80.

$$80+40x+40\left(1+x\right)^{2}=0$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(1+x\right)^{2}.

$$80+40x+40\left(1+2x+x^{2}\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40 на 1+2x+x^{2}.

$$80+40x+40+80x+40x^{2}=0$$

Додайте 80 до 40, щоб обчислити 120.

$$120+40x+80x+40x^{2}=0$$

Додайте 40x до 80x, щоб отримати 120x.

$$120+120x+40x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$40x^{2}+120x+120=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 40 замість a, 120 замість b і 120 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-120±\sqrt{120^{2}-4\times 40\times 120}}{2\times 40}$$

Піднесіть 120 до квадрата.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-4\times 40\times 120}}{2\times 40}$$

Помножте -4 на 40.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-160\times 120}}{2\times 40}$$

Помножте -160 на 120.

$$x=\frac{-120±\sqrt{14400-19200}}{2\times 40}$$

Додайте 14400 до -19200.

$$x=\frac{-120±\sqrt{-4800}}{2\times 40}$$

Видобудьте квадратний корінь із -4800.

$$x=\frac{-120±40\sqrt{3}i}{2\times 40}$$

Помножте 2 на 40.

$$x=\frac{-120±40\sqrt{3}i}{80}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-120±40\sqrt{3}i}{80} за додатного значення ±. Додайте -120 до 40i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-120+40\sqrt{3}i}{80}$$

Розділіть -120+40i\sqrt{3} на 80.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-120±40\sqrt{3}i}{80} за від’ємного значення ±. Відніміть 40i\sqrt{3} від -120.

$$x=\frac{-40\sqrt{3}i-120}{80}$$

Розділіть -120-40i\sqrt{3} на 80.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40 на 1+x.

$$40+40+40x+40\left(1+x\right)^{2}=0$$

Додайте 40 до 40, щоб обчислити 80.

$$80+40x+40\left(1+x\right)^{2}=0$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(1+x\right)^{2}.

$$80+40x+40\left(1+2x+x^{2}\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 40 на 1+2x+x^{2}.

$$80+40x+40+80x+40x^{2}=0$$

Додайте 80 до 40, щоб обчислити 120.

$$120+40x+80x+40x^{2}=0$$

Додайте 40x до 80x, щоб отримати 120x.

$$120+120x+40x^{2}=0$$

Відніміть 120 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$120x+40x^{2}=-120$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}+120x=-120$$

Розділіть обидві сторони на 40.

$$\frac{40x^{2}+120x}{40}=-\frac{120}{40}$$

Ділення на 40 скасовує множення на 40.

$$x^{2}+\frac{120}{40}x=-\frac{120}{40}$$

Розділіть 120 на 40.

$$x^{2}+3x=-\frac{120}{40}$$

Розділіть -120 на 40.

$$x^{2}+3x=-3$$

Поділіть 3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{2}. Потім додайте \frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}$$

Додайте -3 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}+3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Відніміть \frac{3}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$