Розв'яжіть 4(1+9x^2+6x)=56x+84

$$4(1+9 { x }^{ 2 } +6x)=56x+84$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1,111111111$$

$$x=2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 1+9x^{2}+6x.

$$4+36x^{2}+24x=56x+84$$

Відніміть 56x з обох сторін.

$$4+36x^{2}+24x-56x=84$$

Додайте 24x до -56x, щоб отримати -32x.

$$4+36x^{2}-32x=84$$

Відніміть 84 з обох сторін.

$$4+36x^{2}-32x-84=0$$

Відніміть 84 від 4, щоб отримати -80.

$$-80+36x^{2}-32x=0$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$-20+9x^{2}-8x=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$9x^{2}-8x-20=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 9x^{2}+ax+bx-20. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-8 ab=9\left(-20\right)=-180$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -8.

$$a=-18 b=10$$

Перепишіть 9x^{2}-8x-20 як \left(9x^{2}-18x\right)+\left(10x-20\right).

$$\left(9x^{2}-18x\right)+\left(10x-20\right)$$

9x на першій та 10 в друге групу.

$$9x\left(x-2\right)+10\left(x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-2\right)\left(9x+10\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-2=0 та 9x+10=0.

$$x=2 x=-\frac{10}{9}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 1+9x^{2}+6x.

$$4+36x^{2}+24x=56x+84$$

Відніміть 56x з обох сторін.

$$4+36x^{2}+24x-56x=84$$

Додайте 24x до -56x, щоб отримати -32x.

$$4+36x^{2}-32x=84$$

Відніміть 84 з обох сторін.

$$4+36x^{2}-32x-84=0$$

Відніміть 84 від 4, щоб отримати -80.

$$-80+36x^{2}-32x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$36x^{2}-32x-80=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 36 замість a, -32 замість b і -80 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 36\left(-80\right)}}{2\times 36}$$

Піднесіть -32 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 36\left(-80\right)}}{2\times 36}$$

Помножте -4 на 36.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-144\left(-80\right)}}{2\times 36}$$

Помножте -144 на -80.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+11520}}{2\times 36}$$

Додайте 1024 до 11520.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{12544}}{2\times 36}$$

Видобудьте квадратний корінь із 12544.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±112}{2\times 36}$$

Число, протилежне до -32, дорівнює 32.

$$x=\frac{32±112}{2\times 36}$$

Помножте 2 на 36.

$$x=\frac{32±112}{72}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{32±112}{72} за додатного значення ±. Додайте 32 до 112.

$$x=\frac{144}{72}$$

Розділіть 144 на 72.

$$x=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{32±112}{72} за від’ємного значення ±. Відніміть 112 від 32.

$$x=-\frac{80}{72}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 8, щоб звести дріб \frac{-80}{72} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{10}{9}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=2 x=-\frac{10}{9}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на 1+9x^{2}+6x.

$$4+36x^{2}+24x=56x+84$$

Відніміть 56x з обох сторін.

$$4+36x^{2}+24x-56x=84$$

Додайте 24x до -56x, щоб отримати -32x.

$$4+36x^{2}-32x=84$$

Відніміть 4 з обох сторін.

$$36x^{2}-32x=84-4$$

Відніміть 4 від 84, щоб отримати 80.

$$36x^{2}-32x=80$$

Розділіть обидві сторони на 36.

$$\frac{36x^{2}-32x}{36}=\frac{80}{36}$$

Ділення на 36 скасовує множення на 36.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{36}\right)x=\frac{80}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-32}{36} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{80}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{80}{36} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{20}{9}$$

Поділіть -\frac{8}{9} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{4}{9}. Потім додайте -\frac{4}{9} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{20}{9}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{4}{9} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{20}{9}+\frac{16}{81}$$

Щоб додати \frac{20}{9} до \frac{16}{81}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{196}{81}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{196}{81}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{196}{81}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{4}{9}=\frac{14}{9} x-\frac{4}{9}=-\frac{14}{9}$$

Додайте \frac{4}{9} до обох сторін цього рівняння.

$$x=2 x=-\frac{10}{9}$$