Розв'яжіть 4z^2+4z-3

$$4 z ^ { 2 } + 4 z - 3$$

Розкласти на множники

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 4z^{2}+az+bz-3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 4.

$$a=-2 b=6$$

Перепишіть 4z^{2}+4z-3 як \left(4z^{2}-2z\right)+\left(6z-3\right).

$$\left(4z^{2}-2z\right)+\left(6z-3\right)$$

Винесіть за дужки 2z в першій і 3 у другій групі.

$$2z\left(2z-1\right)+3\left(2z-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2z-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$4z^{2}+4z-3=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на -3.

$$z=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Додайте 16 до 48.

$$z=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 64.

$$z=\frac{-4±8}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$z=\frac{-4±8}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-4±8}{8} за додатного значення ±. Додайте -4 до 8.

$$z=\frac{4}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{4}{8} до нескоротного вигляду.

$$z=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння z=\frac{-4±8}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 8 від -4.

$$z=-\frac{12}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-12}{8} до нескоротного вигляду.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{1}{2} на x_{1} та -\frac{3}{2} на x_{2}.

$$4z^{2}+4z-3=4\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$4z^{2}+4z-3=4\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб відняти z від \frac{1}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{2z-1}{2}\left(z+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{2} до z, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{2z-1}{2}\times \frac{2z+3}{2}$$

Щоб помножити \frac{2z-1}{2} на \frac{2z+3}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$4z^{2}+4z-3=4\times \frac{\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)}{4}$$

Відкиньте 4, тобто найбільший спільний дільник для 4 й 4.

$$4z^{2}+4z-3=\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$

Обчислити

$$\left(2z-1\right)\left(2z+3\right)$$