Розв'яжіть 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

Знайдіть y

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 4y^{2}+ay+by+2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$a=-8 b=-1$$

Перепишіть 4y^{2}-9y+2 як \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

4y на першій та -1 в друге групу.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член y-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть y-2=0 та 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -9 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Помножте -16 на 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Додайте 81 до -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Видобудьте квадратний корінь із 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{9±7}{8} за додатного значення ±. Додайте 9 до 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

Розділіть 16 на 8.

$$y=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{9±7}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть 7 від 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{8} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{4} до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Поділіть -\frac{9}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{9}{8}. Потім додайте -\frac{9}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{9}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Щоб додати -\frac{1}{2} до \frac{81}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Розкладіть y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Додайте \frac{9}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$