Розв'яжіть 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Знайдіть y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 4 замість a, -7 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Помножте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Додайте 49 до -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Помножте 2 на 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} за додатного значення ±. Додайте 7 до \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{7±\sqrt{33}}{8} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{33} від 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Ділення на 4 скасовує множення на 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Поділіть -\frac{7}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{8}. Потім додайте -\frac{7}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Щоб додати -\frac{1}{4} до \frac{49}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Розкладіть y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Додайте \frac{7}{8} до обох сторін цього рівняння.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$